Eléments de probabilités

Tribus, mesurabilités, variables aléatoires;
Probabilités, espérances conditionnelle;
Processus stochastiques, martingales, temps d'arrêt.

Calcul stochastique

Mouvement Brownien ;
Martingales continues ;
Intégrales continues et calcul d'Itô ;
Probabilité historique, changement de probabilité, théorème de Girsanov, probabilité risque neutre ;
Modèles de diffusion standard : brownien géométrique (Black Scholes), brownien physique (Ornstein-Uhlenbeck), pont brownien, modèles de taux.

Pricing d'une option dans le modèle de Black & Scholes

Démarche d'évaluation d'un produit dérivé ;
Description du modèle de Black Scholes ;
Stratégies autofinancées ;
Pricing et couverture des Calls / Puts ;
Etablissement et résolution de l'EDP d'évaluation ;
Grecques ;
Application : calcul de la valeur d'une option sur action par le modèle de Black et Scholes.

Smile de volatilité dans le modèle de Black Scholes

Volatilités historique, implicite, instanée;
Surface de volatilité, smile de volatilité;
Méthodes d'estimation de la volatilité;
Volatilité de l'option par rapport à volatilité du sous jacent.
Application : estimation de la valeur du smile de volatilité à partir d'un échantillonnage d'une surface de volatilité.

Options multi sous-jacents

Exemples : option sur panier d'actifs, option d'échange entre actifs, option path-dependent ;
Modèle de diffusion conjointe des sous-jacents : vecteur de drift, matrice de volatilité, brownien multidimensionnel ;
Conditions d'existence de la probabilité risque neutre, complétude du marché ;
Application : calcul de la valeur d'une option d'échange entre 2 actifs.